El ortocentro de un triángulo es la intersección de las tres alturas , es decir, la intersección de las líneas de cada vértice del triángulo con su lado opuesto forma un ángulo recto. La longitud de la altitud es la distancia entre la cima y la base.
Ortocentro de un triángulo
Las tres alturas de un triángulo se encuentran en un punto. Ese punto se llama ortocentro del triángulo .
En concreto: En el dibujo están las alturas, el ortocentro del triángulo.
Para determinar el ortocentro de un triángulo, encontramos la intersección de las dos alturas en ese triángulo.
Nota: a) Si el triángulo es un triángulo agudo, el ortocentro se encuentra dentro del triángulo.
b) Si el triángulo es rectángulo entonces el ortocentro coincide con el punto .
c) Si un triángulo es obtusángulo, entonces el ortocentro se encuentra fuera del triángulo.
Propiedad 1: En un triángulo equilátero, el baricentro, el ortocentro, un punto equidistante de los tres vértices del triángulo, un punto dentro del triángulo y equidistante de los tres lados del triángulo son cuatro puntos coincidentes.
Propiedad 2: El ortocentro corta la bisectriz perpendicular de dos lados en dos segmentos de igual longitud. Esto significa que el ortocentro está a la misma distancia de los vértices del triángulo.
Propiedad 3: El ortocentro es el centro del círculo circunscrito de un triángulo, lo que significa que si dibujamos un círculo que pase por los tres vértices de un triángulo, el ortocentro será el centro de ese círculo.
Propiedad 4: El ortocentro de un triángulo agudo se encuentra dentro del triángulo, mientras que el ortocentro de un triángulo obtuso se encuentra fuera del triángulo.
Propiedad 5: El ortocentro de un triángulo rectángulo coincide con el vértice del ángulo recto de ese triángulo rectángulo.
Propiedad 6: El ortocentro es el único punto de un triángulo tal que si trazamos líneas desde el ortocentro hasta los vértices del triángulo, la suma de las longitudes de esas líneas es la más pequeña. Esto significa que el ortocentro está más cerca de los vértices del triángulo que cualquier otro punto.
Propiedad 7: El ortocentro es también el centro de la circunferencia circunscrita del triángulo, es decir, el círculo más grande que puede trazarse a través de los tres vértices del triángulo.
Por ejemplo: Dado un no cuadrado. Llámalo ortocentro. Muestra las alturas del triángulo. Desde allí, indica el ortocentro de ese triángulo.
Guía de soluciones
Ilustración
Sean los pies de las perpendiculares trazadas desde ΔABC.
Considere ΔHBC con:
Entonces AD es la altura desde H hasta BC.
en F entonces BA es la altitud de B a HC
en E entonces CA es la altura de C a HB.
se intersecan en A, por lo que A es el ortocentro de ΔHCB.
Por ejemplo: Dado un triángulo rectángulo con altura . Sea el punto medio de , el punto medio de es . Determinar el ortocentro del triángulo.
Guía de soluciones
Consideremos el subproblema si el triángulo tiene y AC como puntos medios respectivamente, entonces y .
En efecto, en el rayo opuesto del rayo tómese un punto tal que
Consideremos el triángulo AMN y el triángulo CPN.
(opuesto)
, (dos lados y dos ángulos correspondientes)
Los dos ángulos están en posiciones alternas, por lo que
=>(dos ángulos internos alternos)
Consideremos el triángulo BMC y el triángulo PCM.
(cmt)
MC es un borde común
, (lados y ángulos correspondientes)
Los dos ángulos están en posiciones alternas, por lo que
Tenemos de nuevo
Consideremos el triángulo HAB con:
(como se demostró anteriormente)
Consideremos el triángulo ADE.
Por otro lado y
es la altura del triangulo ADE
C es la intersección de AC y DC
=> C es el ortocentro del triángulo ADE
Por ejemplo: Dada una escala en A, la altitud interseca la mediana en . ¿Probar y calcular?
Instruir
Ilustración
Porque el saldo está en A y AM es la mediana
⇒ AM es también la altitud correspondiente a BC
en M.
Por otra parte y por tanto K es el ortocentro.
Por lo tanto, K pertenece a la altitud desde C de ∆ABC.
Tenemos:
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