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¿Qué es un número cuadrado perfecto? Cómo reconocer y ejemplos detallados
Un número cuadrado perfecto es un número que es igual al cuadrado de un entero. Aprendamos sobre las propiedades, el reconocimiento y los cálculos de los números cuadrados en el siguiente artículo para comprender mejor este tipo de número.
Tabla de contenido
- ¿Qué es un número cuadrado perfecto?
- Números cuadrados
- Ejemplos de números cuadrados perfectos
- Ejercicios sobre números cuadrados
¿Qué es un número cuadrado perfecto?
Un número cuadrado perfecto es un número que es igual al cuadrado exacto de un entero. O simplemente dicho, un número cuadrado perfecto es un número natural cuya raíz cuadrada también es un número natural.
Los números enteros incluyen números enteros positivos (1, 2, 3,…), números enteros negativos (-1, -2, -3,…) y 0. El conjunto de números enteros se denota por Z.
Sin embargo, la raíz cuadrada de un número cuadrado sólo tiene valores naturales, es decir, números enteros positivos.
Por ejemplo:
El número 4 es un cuadrado perfecto porque el cuadrado del número 2 es 4.
9 es un número cuadrado perfecto, (porque 9 es igual al cuadrado de 3).
Cómo identificar números cuadrados
1. Mira el último dígito : El último dígito de un número cuadrado perfecto es 0, 1, 4, 5, 6, 9. Los números que terminan en 2, 3, 7, 8 no se llaman números cuadrados perfectos.
2. Mira el último dígito: Un número cuadrado perfecto solo puede tener 1 de 2 formas: 4n o 4n + 1, ningún número cuadrado perfecto tiene la forma 4n + 2 o 4n + 3 (con n € N).
Por ejemplo: Supongamos que n = 1, entonces el número cuadrado tiene la forma 4 x n = 4. O n = 2, entonces el número cuadrado tiene la forma 4 x 2 + 1 = 9.
No puede tener la forma 4 x 2 + 2 = 10 o 4 x 2 + 3 = 11.
3. La cifra de las decenas de un número cuadrado perfecto es par si el último dígito es 1 o 9.
Por ejemplo: El cuadrado número 81 (cuadrado de 9).
4. La cifra de las decenas de un número cuadrado perfecto que termina en 5 es 2.
Por ejemplo: El cuadrado número 225 (cuadrado de 15).
5. Si el número cuadrado perfecto termina en 4, el dígito de las decenas es un número par.
Por ejemplo: El cuadrado número 64 (cuadrado de 8).
6. Si el número cuadrado termina en 6, el dígito de las decenas es impar.
Por ejemplo: El cuadrado número 16 (cuadrado de 4).
7. Cuando se factoriza en números primos, un número cuadrado perfecto contiene sólo factores primos con exponentes pares.
Por ejemplo: El número cuadrado 16 = 2 x 2 x 2 x 2 = 2 ^ 4.
Divisibilidad de números cuadrados
Un número cuadrado perfecto divisible por un número primo p también será divisible por p^2, y viceversa.
- Un número cuadrado perfecto divisible por 2 es divisible por 2^2 = 4.
- Un número cuadrado perfecto divisible por 3 es divisible por 3^2 = 9.
- Un número cuadrado perfecto divisible por 5 es divisible por 5^2 = 25.
- Un número cuadrado perfecto divisible por 8 (= 2^3) también es divisible por 2^4 = 16 (escrito como potencia de un número).
- El número cuadrado 36 ( 6^2 ) es divisible por 2 => 36 es divisible por 4 ( 2^2 )
- El número cuadrado 144 (12^2) es divisible por 3 (144:3=48) => 144 es divisible por 9 (144:9=16)
Número cuadrado más pequeño
El número cuadrado perfecto más pequeño en el conjunto de números cuadrados perfectos es 0. En el rango de números de 0 a 100, hay 10 números cuadrados perfectos menores que 100. Incluyen los números: 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81.
Número cuadrado más grande
- El número cuadrado más grande de un dígito es 9.
- El número cuadrado de dos dígitos más grande es 81.
- El número cuadrado más grande de 3 dígitos es 312.
- El número cuadrado más grande de 4 dígitos es 9801
- El número cuadrado más grande de 5 dígitos es 99856
Constante idéntica para calcular la diferencia de dos números cuadrados
Por ejemplo:
Características de los números cuadrados
- Fórmula para calcular la diferencia de dos números cuadrados: a^2 - b^2 = (ab)(a+b).
- Si un número cuadrado es divisible por un número primo, entonces también será divisible por el cuadrado de ese número primo.
Por ejemplo: El número cuadrado 18 es divisible por 3, entonces también será divisible por el cuadrado de 3, que es 9.
Números cuadrados
Hay dos tipos de números cuadrados:
| Número cuadrado par | Número cuadrado impar |
| Un número cuadrado perfecto es par si y sólo si es el cuadrado de un entero par. | Un número cuadrado perfecto es impar si y sólo si es el cuadrado de un entero impar. |
| Por ejemplo, el número 36 es un número cuadrado par porque es el cuadrado del número 6 (un número par). | Por ejemplo, el número 25 es un número cuadrado par porque es el cuadrado del número 5 (un número impar). |
Ejemplos de números cuadrados perfectos
Los números 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, … son todos números cuadrados perfectos.
4 = 2² es un número cuadrado par.
9 = 3² es un número cuadrado impar.
16 = 4² es un número cuadrado par.
25 = 5² es un número cuadrado impar.
36 = 6² es un número cuadrado par.
49 = 7² es un número cuadrado impar.
64 = 8² es un número cuadrado par.
81 = 9² es un número cuadrado impar.
100 = 10² es un número cuadrado par.
Nota: Los números 0 y 1 también son números cuadrados.
Ejercicios sobre números cuadrados
Lección 1 : En la siguiente serie de números, ¿cuál es un número cuadrado perfecto?: 9, 81, 790, 408, 121, 380, 2502, 441, 560.
Solución: Los números cuadrados perfectos son 9 (3²), 81 (9²), 121 (11²), 441 (21²).
Lección 2: Demuestra que el número 1234567890 no es un número cuadrado perfecto.
Solución: El número 1234567890 es divisible por 5 (porque el último dígito es 0) pero no por 25 (porque los dos últimos dígitos son 90). Por lo tanto, el número 1234567890 no es un número cuadrado perfecto.
Lección 3 : Demuestra que el número B = 4n^4 + 4n³ + n² es un cuadrado perfecto para todo entero positivo n.
Solución:
B = 4n^4 + 4n³ + n²= n²(4n² + 4n + 1)= n²(2n + 1)²
Vemos que B puede representarse como el producto de dos cuadrados. O B = [n(2n+1)]², y n(2n + 1) es un número entero. Así que la conclusión es que B es un número cuadrado perfecto.
Lección 4:
Encuentra un número natural n tal que el siguiente número sea un cuadrado perfecto: B = n² + 4n + 1.
Solución:
Como el número B es un cuadrado perfecto, establecemos n² + 4n + 1 = b²
= 4n²+16n+4=4b²
= (4n²+16n+16)-16+4=4b²
= (2n+4)²- 4b² = 12
= (2n+4+2b)x(2n+4-2b)=12
Tenga en cuenta que 2n+4+2b = 2n+4-2b, y todos estos son números enteros positivos. Así podremos encontrar los pares de números correspondientes: (12, 1), (6, 2) y (4, 3). Debes considerar cada caso para encontrar n y b. Específicamente:
- Caso 1: (2n + 4 + 2b) (2n + 4 - 2b) = 12 = 12 x 1 = n = 5/4, b = 11/4
- Caso 2: (2n + 4 + 2b) (2n + 4 - 2b) = 12 = 6 x 2 = n = 0, b = 1
- Caso 3: (2n + 4 + 2b) (2n + 4 - 2b) = 12 = 4 x 3 = n = -1/4, b = 1/4
Pero n es un número natural, por lo que sólo las respuestas n = 0, b = 1 son satisfactorias. Y n = 0, por lo que el número cuadrado B = 1.
Esperamos que el artículo anterior haya proporcionado información útil para ayudarlo a saber qué es un número cuadrado perfecto, si 0 es un número cuadrado perfecto, así como las propiedades y características de los números cuadrados perfectos. A partir de ahí, tendrás más conocimientos para resolver problemas y cuestiones sobre números cuadrados.
Además de los números cuadrados, puedes aprender sobre otros tipos de números en matemáticas como los números mixtos , las fracciones ...
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