¿Qué es un número racional? ¿Qué es un número irracional?

Las definiciones y fórmulas de números racionales e irracionales son conocimientos importantes en matemáticas que los estudiantes deben comprender para tener una base matemática sólida. El siguiente artículo le presenta la definición, propiedades y formas matemáticas de los números racionales e irracionales. Por favor, consulte el mismo.

Números racionales, números irracionales

• ¿Qué es un número racional?
  • Clasificación de los números racionales
  • Representación de números racionales en una recta numérica
  • Sumar y restar números racionales
  • Multiplicar y dividir números racionales
  • Valor absoluto de un número racional
  • Comparar dos números racionales
  • Fórmula para calcular la potencia de un número racional
• ¿Qué es un número irracional?
  • Concepto de números irracionales
  • Propiedades de los números irracionales
• ¿Cuál es la diferencia entre números racionales e irracionales?
• Relación de conjuntos de números
• Ejercicios sobre números racionales

¿Qué es un número racional?

- Los números racionales son el conjunto de números que se pueden escribir como fracciones (cocientes). Es decir, un número racional puede representarse mediante un decimal periódico infinito.

- Los números racionales se escriben como , donde a y b son números enteros pero b debe ser diferente de 0.

- es el conjunto de números racionales.

=> Conjunto de números racionales: .

Por ejemplo: , , … son números racionales.

• Cualquier número entero a es un número racional porque el entero a puede escribirse en la forma .

Por ejemplo: Tenemos números racionales.

Tenemos:

Comentario: son todos números racionales.

Clasificación de los números racionales

Los números racionales se dividen en dos tipos: números racionales negativos y números racionales positivos. Específicamente:

• Números racionales negativos: Incluye números racionales menores que 0.
• Números racionales positivos: Incluye números racionales mayores que 0.

Nota: El número 0 no es un número racional negativo ni un número racional positivo.

Naturaleza

• El conjunto de números racionales es un conjunto contable.
• Propiedad conmutativa:
• Propiedad de adición con 0:
• Propiedades combinadas:

Representación de números racionales en una recta numérica

- Para representar números racionales en la recta numérica, seguimos estos factores:

Paso 1: Escribe el número racional como fracción

Paso 2: Divide el segmento unitario en b partes iguales para obtener un nuevo segmento unitario que es la unidad anterior.

Paso 3: El número racional está representado por el punto A que es una distancia de una nueva unidad desde el punto 0.

• A está a la izquierda de 0 si es un número negativo.
• A está a la derecha de 0 si es un número positivo.

Por ejemplo: En la figura, el punto P representa el número racional:

Instruir

El segmento de línea unitario se divide en 6 partes iguales (la nueva unidad es 1/6 de la unidad anterior)

El punto P está ubicado a una distancia de 7 nuevas unidades del punto O.

Y el punto P está a la derecha del punto O, por lo que P es un número racional positivo.

Entonces P representa un número racional.

Sumar y restar números racionales

i) Reglas para sumar y restar dos números racionales

Podemos sumar y restar dos números racionales x e y escribiéndolos como dos fracciones y luego aplicando las reglas para sumar y restar fracciones.

Con nosotros tenemos:

ii) Propiedades

- La suma de números racionales tiene las propiedades de la suma de fracciones: conmutativa, asociativa, suma con 0, suma con opuestos.

- Tenemos:

a) Propiedad conmutativa:

b) Propiedades asociativas:

c) Sumar 0:

d) Suma el número opuesto:

iii, Reglas de transición

Al mover un término de un lado de una ecuación al otro, debemos cambiar el signo de ese término.

En Q tenemos una suma algebraica, en la que podemos intercambiar términos, poner paréntesis para agrupar términos arbitrariamente como sumas algebraicas en el conjunto de números enteros.

• Con si entonces
• Con nosotros tenemos:

Multiplicar y dividir números racionales

i) Reglas para multiplicar y dividir dos números racionales

- Podemos multiplicar y dividir dos números racionales escribiéndolos como fracciones y luego aplicando las reglas para multiplicar y dividir fracciones.

• Con nosotros tenemos:
• Con nosotros tenemos:

Por ejemplo:

Multiplicar números racionales: 

Dividir números racionales: 

ii) Propiedades

- La multiplicación de números racionales también tiene las mismas propiedades que la multiplicación de fracciones: conmutativa, asociativa, multiplicación por 1 y propiedad distributiva de la multiplicación sobre la suma.

- Todo número racional distinto de cero tiene un inverso.

- Tenemos:

• Propiedad conmutativa: .
• Propiedades asociativas: .
• Propiedad de multiplicar por 1: .
• Propiedades distributivas: .
• Con . El recíproco de a es .

Valor absoluto de un número racional

- El valor absoluto de un número racional a, denotado por , es la distancia del punto a al punto 0 en la recta numérica.

Por ejemplo:

(Porque )

(Porque )

Comparar dos números racionales

- Con 2 números racionales cualesquiera siempre tenemos o o .

- Para comparar dos números racionales hacemos lo siguiente:

• Escribe como 2 fracciones con el mismo denominador positivo:
• Compara los numeradores como números enteros a, b:

Por ejemplo: Compara dos números racionales: y

Tenemos:

Porque es bueno.

Fórmula para calcular la potencia de un número racional

Fórmulas para calcular potencias de números racionales que debes recordar

• Producto de dos potencias con la misma base:
• Poder del poder
• Potencia de un producto
• Potencia de un cociente

¿Qué es un número irracional?

Concepto de números irracionales

• Cuando se mencionan números racionales, no se puede dejar de mencionar los números irracionales. Se trata de números escritos en forma de decimales infinitos y no periódicos, denotados por .
• Los números reales que no son números racionales no se pueden representar como razones.

Por ejemplo: 3.145248… es un número irracional.

Propiedades de los números irracionales

El conjunto de números irracionales es un conjunto incontable.

Por ejemplo:

Números irracionales: 0,1010010001000010000010000001… (este es un decimal infinito no periódico)

Número de raíces cuadradas: √2 (raíz cuadrada)

Pi (π): 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50 288…..

¿Cuál es la diferencia entre números racionales e irracionales?

• Los números racionales incluyen decimales recurrentes no terminales, mientras que los números irracionales son decimales no terminales y no periódicos.
• Los números racionales son simplemente fracciones, mientras que los números irracionales tienen muchos tipos diferentes de números.
• Los números racionales son números contables, mientras que los números irracionales son números incontables.

Relación de conjuntos de números

Símbolos de conjuntos de números:

• N: Conjunto de números naturales
• N*: Conjunto de números naturales distintos de 0
• Z: Conjunto de números enteros
• P: El conjunto de números racionales
• I: Conjunto de números irracionales

Tenemos: R = Q ∪ I.

Conjunto N; Z; Q; R.

Entonces la relación de inclusión entre los conjuntos de números es: N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R

Ejercicios sobre números racionales

Formulario 1: Realizar cálculos que involucren números racionales.

Método de solución: Para resolver ejercicios sobre la realización de cálculos relacionados con números racionales, primero convierta los números racionales en fracciones, luego aplique las reglas de cálculo con suma, resta, multiplicación y división de números racionales.

Ejemplo: Calcular  

Respuesta:

Formulario 2: Representación de números racionales en la recta numérica

Solución: Debes determinar si el número racional es un número racional positivo o un número racional negativo y luego continuar con los siguientes pasos:

• Si el número racional a/b es un número racional positivo: En la recta numérica, en dirección positiva, divide la longitud de 1 unidad en b partes iguales. Luego tome un punto en la dirección positiva del eje Ox, señale una parte y determine la posición del número racional a/b.
• Si el número racional a/b es un número racional negativo: En la recta numérica, en la dirección negativa del eje, divide la longitud de 1 unidad en b partes iguales. Luego tome un punto en la dirección negativa del eje Ox, señale una parte y determine la posición del número racional a/b.

Formulario 3: Comparación de números racionales

Solución: Convierte los números racionales dados en fracciones con el mismo denominador positivo y luego compara los numeradores. Más avanzados podemos comparar con fracciones intermedias para encontrar la respuesta.

Formulario 4: Determinar si un número racional es negativo, positivo o 0

Método de solución: Para resolver ejercicios de tipo 4, los estudiantes deben basarse en las propiedades de los números racionales para determinar si el número racional es negativo, positivo o 0.

Por ejemplo: Dado el número racional x = (a – 25)/29, determine el valor de a de manera que:

• x es negativo
• x es positivo
• x = 0

Respuesta:

x es un número negativo => (a – 25)/29 < 0=""> a – 25 < 0=""> a <>

x es un número positivo => (a – 25)/29 > 0 => a – 25 > 0 => a > 25

x = 0 => (a – 25)/29 = 0 0 => a – 25 = 0 => a = 25

Formulario 5: Encuentra números racionales en el intervalo según las condiciones dadas

Solución: Si la pregunta requiere encontrar números racionales dentro de un intervalo según las condiciones dadas, necesitamos poner los números racionales en el mismo numerador o denominador para encontrar la respuesta.

Ejemplo: Encuentra el valor de m para mayor que y menor que

Guía de respuestas

Convierte fracciones a denominadores comunes de la siguiente manera:

Denominador común: 18

Según la pregunta tenemos:

Formulario 6: Encuentra x con números racionales

Método para resolver problemas de matemáticas: Para encontrar x con números racionales en problemas de matemáticas, es necesario realizar una reducción de denominador común y convertir x a un lado, y los términos restantes a 1. A partir de ahí calcular el valor de x.

Por ejemplo: Encuentra x sabiendo x. (2/3) + 5/6 = 1/8

Respuesta:

x . (2/3) + 5/6 = 1/8

=> x . (2/3) = 1/8 + 5/6

=> x = 46/ 48 : 2/ 3

=> x = 23 . 3 / 24 . 2

=> 23/16

Formulario 7: Encuentra un número tal que la expresión sea un número entero

Método para resolver problemas de matemáticas: Para el problema de encontrar a, si el numerador no contiene a, necesitamos usar el signo de divisibilidad. Si el numerador contiene a, utilice el signo de divisibilidad o separe el numerador por el denominador. Si el problema requiere encontrar a y b al mismo tiempo, agrupe a o b y conviértalos a forma fraccionaria para el cálculo.

Ejemplo: Hallar el entero a con la condición de que 8/(a – 1) sea un entero

Respuesta:

Condición: a – 1 ≠ 0 => a ≠ 1

Sea a un entero => 8 es divisible por (a – 1)

=> (a – 1) es un factor de 8 => U(8) = {-8, -4, -2, -1, 1, 2, 4, 8}

=> (a – 1) = {-8, -4, -2, -1, 2, 4, 8}

=> a = {-7, -3, -1, 0, 3, 5, 9}

Con suerte, el artículo anterior le habrá ayudado a comprender qué son los números racionales, qué son los números irracionales, los tipos de números racionales, qué son los símbolos de los números racionales y cómo reconocer los números racionales para resolver problemas fácilmente.

Además de los conocimientos sobre números irracionales y números racionales anteriores, puedes consultar algunos otros conocimientos matemáticos como fracciones , números mixtos , decimales ...