Las definiciones y fórmulas de números racionales e irracionales son conocimientos importantes en matemáticas que los estudiantes deben comprender para tener una base matemática sólida. El siguiente artículo le presenta la definición, propiedades y formas matemáticas de los números racionales e irracionales. Por favor, consulte el mismo.
Números racionales, números irracionales
- Los números racionales son el conjunto de números que se pueden escribir como fracciones (cocientes). Es decir, un número racional puede representarse mediante un decimal periódico infinito.
- Los números racionales se escriben como , donde a y b son números enteros pero b debe ser diferente de 0.
- es el conjunto de números racionales.
=> Conjunto de números racionales: .
Por ejemplo: , , … son números racionales.
Por ejemplo: Tenemos números racionales.
Tenemos:
Comentario: son todos números racionales.
Los números racionales se dividen en dos tipos: números racionales negativos y números racionales positivos. Específicamente:
Nota: El número 0 no es un número racional negativo ni un número racional positivo.
Naturaleza
- Para representar números racionales en la recta numérica, seguimos estos factores:
Paso 1: Escribe el número racional como fracción
Paso 2: Divide el segmento unitario en b partes iguales para obtener un nuevo segmento unitario que es la unidad anterior.
Paso 3: El número racional está representado por el punto A que es una distancia de una nueva unidad desde el punto 0.
Por ejemplo: En la figura, el punto P representa el número racional:
Instruir
El segmento de línea unitario se divide en 6 partes iguales (la nueva unidad es 1/6 de la unidad anterior)
El punto P está ubicado a una distancia de 7 nuevas unidades del punto O.
Y el punto P está a la derecha del punto O, por lo que P es un número racional positivo.
Entonces P representa un número racional.
i) Reglas para sumar y restar dos números racionales
Podemos sumar y restar dos números racionales x e y escribiéndolos como dos fracciones y luego aplicando las reglas para sumar y restar fracciones.
Con nosotros tenemos:
ii) Propiedades
- La suma de números racionales tiene las propiedades de la suma de fracciones: conmutativa, asociativa, suma con 0, suma con opuestos.
- Tenemos:
a) Propiedad conmutativa:
b) Propiedades asociativas:
c) Sumar 0:
d) Suma el número opuesto:
iii, Reglas de transición
Al mover un término de un lado de una ecuación al otro, debemos cambiar el signo de ese término.
En Q tenemos una suma algebraica, en la que podemos intercambiar términos, poner paréntesis para agrupar términos arbitrariamente como sumas algebraicas en el conjunto de números enteros.
i) Reglas para multiplicar y dividir dos números racionales
- Podemos multiplicar y dividir dos números racionales escribiéndolos como fracciones y luego aplicando las reglas para multiplicar y dividir fracciones.
Por ejemplo:
Multiplicar números racionales:
Dividir números racionales:
ii) Propiedades
- La multiplicación de números racionales también tiene las mismas propiedades que la multiplicación de fracciones: conmutativa, asociativa, multiplicación por 1 y propiedad distributiva de la multiplicación sobre la suma.
- Todo número racional distinto de cero tiene un inverso.
- Tenemos:
- El valor absoluto de un número racional a, denotado por , es la distancia del punto a al punto 0 en la recta numérica.
Por ejemplo:
(Porque )
(Porque )
- Con 2 números racionales cualesquiera siempre tenemos o o .
- Para comparar dos números racionales hacemos lo siguiente:
Por ejemplo: Compara dos números racionales: y
Tenemos:
Porque es bueno.
Fórmulas para calcular potencias de números racionales que debes recordar
Por ejemplo: 3.145248… es un número irracional.
El conjunto de números irracionales es un conjunto incontable.
Por ejemplo:
Números irracionales: 0,1010010001000010000010000001… (este es un decimal infinito no periódico)
Número de raíces cuadradas: √2 (raíz cuadrada)
Pi (π): 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50 288…..
Símbolos de conjuntos de números:
Tenemos: R = Q ∪ I.
Conjunto N; Z; Q; R.
Entonces la relación de inclusión entre los conjuntos de números es: N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R
Formulario 1: Realizar cálculos que involucren números racionales.
Método de solución: Para resolver ejercicios sobre la realización de cálculos relacionados con números racionales, primero convierta los números racionales en fracciones, luego aplique las reglas de cálculo con suma, resta, multiplicación y división de números racionales.
Ejemplo: Calcular
Respuesta:
Formulario 2: Representación de números racionales en la recta numérica
Solución: Debes determinar si el número racional es un número racional positivo o un número racional negativo y luego continuar con los siguientes pasos:
Formulario 3: Comparación de números racionales
Solución: Convierte los números racionales dados en fracciones con el mismo denominador positivo y luego compara los numeradores. Más avanzados podemos comparar con fracciones intermedias para encontrar la respuesta.
Formulario 4: Determinar si un número racional es negativo, positivo o 0
Método de solución: Para resolver ejercicios de tipo 4, los estudiantes deben basarse en las propiedades de los números racionales para determinar si el número racional es negativo, positivo o 0.
Por ejemplo: Dado el número racional x = (a – 25)/29, determine el valor de a de manera que:
Respuesta:
x es un número negativo => (a – 25)/29 < 0=""> a – 25 < 0=""> a <>
x es un número positivo => (a – 25)/29 > 0 => a – 25 > 0 => a > 25
x = 0 => (a – 25)/29 = 0 0 => a – 25 = 0 => a = 25
Formulario 5: Encuentra números racionales en el intervalo según las condiciones dadas
Solución: Si la pregunta requiere encontrar números racionales dentro de un intervalo según las condiciones dadas, necesitamos poner los números racionales en el mismo numerador o denominador para encontrar la respuesta.
Ejemplo: Encuentra el valor de m para mayor que y menor que
Guía de respuestas
Convierte fracciones a denominadores comunes de la siguiente manera:
Denominador común: 18
Según la pregunta tenemos:
Formulario 6: Encuentra x con números racionales
Método para resolver problemas de matemáticas: Para encontrar x con números racionales en problemas de matemáticas, es necesario realizar una reducción de denominador común y convertir x a un lado, y los términos restantes a 1. A partir de ahí calcular el valor de x.
Por ejemplo: Encuentra x sabiendo x. (2/3) + 5/6 = 1/8
Respuesta:
x . (2/3) + 5/6 = 1/8
=> x . (2/3) = 1/8 + 5/6
=> x = 46/ 48 : 2/ 3
=> x = 23 . 3 / 24 . 2
=> 23/16
Formulario 7: Encuentra un número tal que la expresión sea un número entero
Método para resolver problemas de matemáticas: Para el problema de encontrar a, si el numerador no contiene a, necesitamos usar el signo de divisibilidad. Si el numerador contiene a, utilice el signo de divisibilidad o separe el numerador por el denominador. Si el problema requiere encontrar a y b al mismo tiempo, agrupe a o b y conviértalos a forma fraccionaria para el cálculo.
Ejemplo: Hallar el entero a con la condición de que 8/(a – 1) sea un entero
Respuesta:
Condición: a – 1 ≠ 0 => a ≠ 1
Sea a un entero => 8 es divisible por (a – 1)
=> (a – 1) es un factor de 8 => U(8) = {-8, -4, -2, -1, 1, 2, 4, 8}
=> (a – 1) = {-8, -4, -2, -1, 2, 4, 8}
=> a = {-7, -3, -1, 0, 3, 5, 9}
Con suerte, el artículo anterior le habrá ayudado a comprender qué son los números racionales, qué son los números irracionales, los tipos de números racionales, qué son los símbolos de los números racionales y cómo reconocer los números racionales para resolver problemas fácilmente.
Además de los conocimientos sobre números irracionales y números racionales anteriores, puedes consultar algunos otros conocimientos matemáticos como fracciones , números mixtos , decimales ...
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