¿Qué es un número real?

¿Qué son los números reales? ¿Qué números están en el conjunto de los números reales? Lea el artículo a continuación para comprender mejor este importante conocimiento matemático.

Número real

• 1. ¿Qué es un número real?
• 2. Eje de números reales
•  3. Comparar números reales
• 3. Propiedades del conjunto de números reales
• 4. Valor absoluto de un número real
• 5. Ejercicios de ejemplo sobre números reales

1. ¿Qué es un número real?

• Los números reales son el conjunto de números racionales y números irracionales.
• Conjunto es el símbolo del conjunto de números reales, que consiste en números reales.

• Un número racional es un número escrito como fracción (a, b ∈ Z, b ≠ 0). Por ejemplo 
• El conjunto de números racionales se denota por 
• Un número irracional es un decimal infinito y no periódico. Por ejemplo:
• El conjunto de números irracionales se denota por 

El conjunto de números reales cubre la recta numérica.

Por ejemplo:

2. Eje de números reales

Cada número real está representado por un punto en la recta numérica.

• Por el contrario, cada punto de la recta numérica representa un número real.
• Sólo el conjunto de números reales llena la recta numérica.

 3. Comparar números reales

Método

• Con dos números reales cualesquiera x, y, siempre tenemos x = y o x < y o x > y
• Los números reales mayores que 0 se llaman números reales positivos, los números reales menores que 1 se llaman números reales negativos. El número 0 no es un número real ni positivo ni negativo.
• Comparar números reales positivos es similar a comparar números racionales.
• Siendo a y b dos números reales positivos, si a > b entonces .

Ejemplo: Complete el dígito apropiado en el cuadrado:

Guía de soluciones

a) -7,5(0)8 > -7,513

b) -3,02 <>

c) -0.4(9)854 <>

d) -1,(9)0765 <>

Ejemplo: Ordenar los números reales: del menor al mayor

Guía de soluciones

Ordena los números reales del menor al mayor:

Por ejemplo: Demuestre que:

Con a, b son dos números reales positivos si a > b entonces

Guía de soluciones

Si a > b entonces

a, b son dos números reales positivos por lo que a + b > 0

Si a > b entonces a – b > 0

Considere el producto

Porque a2 – b2 > 0

=> a2 > b2 => dpcm

3. Propiedades del conjunto de números reales

En el conjunto también definimos las operaciones de suma, resta, multiplicación, división, potenciación, raíces cuadradas... Y en las operaciones, los números reales también tienen las mismas propiedades que las operaciones en el conjunto de los números racionales.

En el conjunto de los números reales, las operaciones tienen las siguientes propiedades con respecto a la multiplicación:

• Para todas las propiedades:
• Añadir 0: 
• Propiedad conmutativa: ;
• Propiedades combinadas: 
• Propiedad conmutativa: a. b = b. a
• Propiedades asociativas: (a. b). c = a. (b. c)
• Propiedades de la multiplicación por el número 1:
• Propiedad distributiva de la multiplicación sobre la suma: a. (b + c) = a. b + a. do
• Para cada número real a ≠ 0, existe un inverso tal que

- Es decir, los cálculos anteriores también tienen propiedades conmutativas y asociativas como otros conjuntos de números. Y lo mismo ocurre con la resta, la multiplicación, la división…

Relación entre conjuntos de números

Por ejemplo: Realice el cálculo:

Guía de soluciones

Por ejemplo: Encuentra x, sabiendo:

Guía de soluciones

4. Valor absoluto de un número real

Definición: La distancia del punto a al punto 0 en la recta numérica es el valor absoluto de un número a (a es un número real). El valor absoluto de un número negativo es él mismo, el valor absoluto de un número negativo es su opuesto.

Descripción general:

• Si
• Si
• Si
• Si

Naturaleza

• El valor absoluto de cada número no es negativo.
• General: para todo a ∈ R

Específicamente:

Algunas propiedades

- Dos números que son iguales u opuestos tienen igual valor absoluto, y viceversa, dos números que tienen igual valor absoluto son iguales u opuestos.

Descripción general:

- Todo número es mayor o igual al opuesto de su valor absoluto y a la vez menor o igual a su valor absoluto.

Descripción general: y

- De dos números negativos, el menor tiene mayor valor absoluto.

Descripción general: Si

- De dos números positivos, el menor tiene el valor absoluto menor.

Descripción general: Si

- El valor absoluto de un producto es igual al producto de los valores absolutos.

Descripción general:

- El valor absoluto de un cociente es igual al cociente de dos valores absolutos.

Descripción general:

5. Ejercicios de ejemplo sobre números reales

Ejemplo 1: Complete los espacios en blanco con los símbolos apropiados ∈, ∉, ⊂ (…):

3 …. Q; 3 …. R ; 3…yo; -2.53…Q;

0.2(35) …. I ; N…. Z; I …. R.

Instruir

a) 3 ∈ Q ; 3 ∈ R ; 3 ∉ Yo ; -2,53 ∈ Q

b) 0,2(35) ∉ I ; N ∈ Z ; Yo ⊂ R

Ejemplo 2: Encuentra los conjuntos

a) Q ∩ I ;
b) R ∩ I.

Instruir

a) Q ∩ I = Ø ;
b) R ∩ I = I.

Ejemplo 3: Complete el dígito apropiado en (…) 

a) – 3.02 < –="" 3,="" …="">

b) – 7,5 … 8 > – 7,513

c) – 0,4 … 854 < –="">

d) -1, … 0765 < –="">

Instruir

a) – 3,02 < –="">
b) – 7,508 > – 7,513 ;
c) – 0,49854 < –="" 0,49826="">
d) -1,90765 < –="">

Ejemplo 4: Halla x, sabiendo:

3,2.x + (-1,2).x +2,7 = -4,9;

Instruir

3.2. x + (-1,2).x + 2,7 = -4,9

[3,2 + (-1,2)].x + 2,7 = -4,9.

2.x + 2,7 = – 4,9.

2.x = – 4,9 – 2,7

2.x = – 7.6

x = -7,6 : 2

x = -3.8

Además de los números reales, puedes aprender más sobre otras definiciones en matemáticas como números cuadrados , números irracionales, números racionales , números primos , números naturales ...