Fórmula para calcular el volumen de un sólido de revolución y ejemplos ilustrativos

¿Qué es un bloque giratorio? ¿Cómo calcular el volumen de un sólido de revolución?

Un sólido de revolución es una forma creada al rotar un plano alrededor de un eje fijo, como un cono de revolución, un cilindro de revolución, una esfera de revolución, etc. A continuación se muestra la fórmula para calcular el volumen de un sólido de revolución, consúltela.

Tabla de contenido

• Calcular el volumen de un bloque circular girado alrededor del eje Ox
• Calcular el volumen de un bloque circular girado alrededor del eje Oy
• Ejemplo de cálculo del volumen de un sólido de revolución

Calcular el volumen de un bloque circular girado alrededor del eje Ox

Si el bloque circular gira alrededor del eje Ox, se pueden aplicar las siguientes fórmulas para calcular el volumen del bloque circular giratorio:

Caso 1 : Bloque circular giratorio creado por:

• Línea y= f(x)
• eje x y=0
• x=a; x=b

Entonces, la fórmula para calcular el volumen es:

Caso 2 : El bloque giratorio se crea mediante:

• Línea y= f(x)
• Línea y = g(x)
• x=a; x=b

Entonces la fórmula para calcular el volumen de un sólido de revolución será:

con

Calcular el volumen de un bloque circular girado alrededor del eje Oy

Si el bloque circular gira alrededor del eje Oy, se pueden aplicar las siguientes fórmulas para calcular el volumen del bloque circular giratorio:

Caso 1 : El bloque giratorio se crea mediante:

• Línea x=g(y)
• Eje vertical (x=0)
• y=c; y=d

Entonces la fórmula para calcular el volumen de un sólido de revolución será:

Caso 2 : El bloque giratorio se crea mediante

• Línea x=f(y)
• La ecuación x=g(y)
• y=c; y=d

Entonces el volumen del sólido de revolución será:

con

Tabla resumen de fórmulas para calcular el volumen de un sólido de revolución:

1. Vx generado por el área S que gira alrededor de Ox:

Receta :

2. Vx generado por el área S que gira alrededor de Ox:

Receta :

Ejemplo de cálculo del volumen de un sólido de revolución

Ejemplo 1: 

Calcular el volumen del sólido de revolución obtenido al girar la figura plana limitada por la curva y = senx, el eje x y dos rectas x=0, x=π (dibujo) alrededor del eje Ox.

Solución

Aplicando la fórmula del teorema anterior tenemos

Ejemplo 2: 

Calcular el volumen del sólido de revolución obtenido al girar la figura plana delimitada por la curva y el eje x alrededor del eje x.

Premio:

Vemos:

Para todo x, ésta es por tanto la ecuación de un semicírculo con centro O y radio R = A situado por encima del eje Ox. Al girar alrededor del eje Ox, la forma plana formará una esfera con centro O y radio R = A (figura). Así que siempre tenemos

 

Entonces, con este tipo de problema, no necesitamos escribir la fórmula de integración, sino que podemos concluir basándonos en la fórmula para calcular el volumen de una esfera.

Ejemplo 3: 

Calcula el volumen del objeto comprendido entre dos planos x = 0 y x = 1, sabiendo que la sección transversal del objeto cortada por el plano (P) perpendicular al eje Ox en el punto de abscisa x(0≤x≤1) es un rectángulo con dos lados de longitud x y ln(x2+1).

Premio: 

Como la sección transversal es rectangular, el área de la sección transversal es:

Tenemos el volumen a calcular como

Ejemplo 4: Dada una figura plana delimitada por rectas y = 3x; y = x; x = 0; x = 1 gira alrededor del eje Ox. Calcular el volumen del sólido de revolución resultante.

Premio:

Las coordenadas de la intersección de la línea x = 1 con y = x e y = 3x son los puntos C(1;1) y B(3;1). Las coordenadas de la intersección de la línea y = 3x con y = x son O(0;0).

Entonces el volumen del sólido giratorio que se va a calcular es:

Ejemplo 5 : Dada una figura plana delimitada por líneas y = 2x2; y2 = 4x gira alrededor del eje Ox. Calcular el volumen del sólido de revolución resultante.

Premio:

Con tiempo equivalente. Las coordenadas de la intersección de la línea con son los puntos O(0;0) y A(1;2).

Entonces el volumen del sólido giratorio que se va a calcular es:

Para problemas que requieran calcular el volumen de un sólido de revolución, solo es necesario utilizar la fórmula correcta para cada caso y prestar atención al determinar el límite para poder resolverlo. ¡Buena suerte!