Cómo resolver una ecuación cuadrática

Resolver ecuaciones cuadráticas

• A. ¿Qué es una ecuación cuadrática?
• B. Resolver ecuaciones cuadráticas
• C. Resolver mentalmente ecuaciones cuadráticas
• D. Utilizando la fórmula Viet-et
  • Teorema de Vieta
  • Teorema inverso de Viet-et
• E. Ejemplo de resolución de una ecuación cuadrática
• F. Factorización
• G. Resolución de ecuaciones cuadráticas que contienen parámetros

A. ¿Qué es una ecuación cuadrática?

Una ecuación cuadrática es una ecuación de la forma (a≠0) (1).

Siendo x la variable desconocida y dado que solo hay 1 incógnita, también se denomina ecuación de "variable única". Los números a, b y c son números conocidos, llamados coeficientes de la ecuación; Se pueden distinguir llamándolos respectivamente: coeficiente cuadrático, coeficiente de primer orden y coeficiente libre o constante.

Una ecuación cuadrática es un tipo de ecuación polinomial, solo contiene potencias de x que son números naturales.

Resolver una ecuación cuadrática es encontrar los valores de x tales que cuando x se sustituye en la ecuación (1), se satisface ax2+bx+c=0. Hay cuatro formas comunes de resolver ecuaciones cuadráticas: factorización; método de la raíz cuadrada; utilice la fórmula raíz; gráfico.

B. Resolver ecuaciones cuadráticas

Paso 1: Calcular Δ=b2-4ac

Paso 2: Comparar Δ con 0

• Δ < 0=""> La ecuación (1) no tiene solución
• Δ = 0 => la ecuación (1) tiene doble solución
• Δ > 0 => la ecuación (1) tiene 2 soluciones distintas, utilizamos la siguiente fórmula de solución :

y

C. Resolver mentalmente ecuaciones cuadráticas

• Si la ecuación tiene a + b + c = 0 entonces la ecuación tiene una solución.
• Si la ecuación tiene a - b + c = 0 entonces la ecuación tiene como solución:

D. Utilizando la fórmula Viet-et

Teorema de Vieta

Si es la solución de la ecuación entonces

Teorema inverso de Viet-et

Si existen dos números, entonces son soluciones de la ecuación, (existe cuando)

E. Ejemplo de resolución de una ecuación cuadrática

Ejemplo 1: Resuelva la siguiente ecuación cuadrática: x2 - 49x - 50 = 0

Guía de soluciones

Método 1: Utilice la fórmula de la raíz (a = 1; b = -49; c = -50)

Como ∆ > 0, la ecuación tiene dos soluciones distintas.

Método 2: Cálculo mental

Porque a – b + c = -1 – (-49) + (-50) = 0

Entonces la ecuación tiene dos soluciones.

Método 3:

Según el teorema de Viet tenemos:

Entonces la ecuación tiene dos soluciones:

Ejemplo 2: Resolver la ecuación 4x2 - 2x - 6 = 0 (2)

Δ=(-2)2 - 4.4.(-6) = 4 + 96 = 100 > 0 => la ecuación dada (2) tiene 2 soluciones distintas.

y

También puedes calcular la solución rápidamente calculando mentalmente, porque ves que 4-(-2)+6=0, entonces x1 = -1, x2 = -c/a = -(-6)/4=3/2. La solución es la misma que la anterior.

Ejemplo 3: Resolver la ecuación 2x2 - 7x + 3 = 0 (3)

Calcular Δ = (-7)2 - 4,2,3 = 49 - 24 = 25 > 0 => (3) tiene 2 soluciones distintas:

y

Comprobar si has calculado correctamente la solución es muy fácil, simplemente sustituye x1, x2 en la ecuación 3 por turno, si el resultado es 0 entonces es correcto. Por ejemplo, reemplace x1, 2,32-7,3+3=0.

Ejemplo 4: Resolver la ecuación 3x2 + 2x + 5 = 0 (4)

Calcular Δ = 22 - 4.3.5 = -56 < 0=""> la ecuación (4) no tiene solución.

Ejemplo 5: Resuelve la ecuación x2 – 4x +4 = 0 (5)

Calcular Δ = (-4)2 - 4.4.1 = 0 => la ecuación (5) tiene doble solución:

De hecho, si eres ingenioso, también puedes ver que esta es la identidad memorable (ab)2 = a2 - 2ab + b2, por lo que es fácil reescribir (5) como (x - 2)2 = 0 <=> x=2.

F. Factorización de polinomios

Si la ecuación (1) tiene dos soluciones distintas x1, x2, siempre puedes escribirla en la siguiente forma: ax2 + bx + c = a(x-x1)(x-x2) = 0.

Volviendo a la ecuación (2), después de encontrar 2 soluciones x1, x2 puedes escribirla en la forma: 4(x-3/2)(x+1)=0.

G. Resolución de ecuaciones cuadráticas que contienen parámetros

1. Ecuación con solución

2. Ecuación sin solución

3. La ecuación tiene una solución única (solución doble o dos soluciones iguales)

4. La ecuación tiene dos soluciones distintas.

5. La ecuación tiene dos soluciones con el mismo signo.

6. La ecuación tiene dos soluciones con signos opuestos.

7. La ecuación tiene dos raíces positivas (dos raíces mayores que 0)

8. La ecuación tiene dos raíces negativas (dos raíces menores que 0)

9. La ecuación tiene dos soluciones opuestas.

10. Dos soluciones inversas

Cosas para recordar:

Junto con la ecuación cuadrática, también existe el teorema de Viet con muchas aplicaciones como calcular mentalmente las raíces de la ecuación cuadrática mencionada anteriormente, encontrar 2 números cuando se conoce la suma y el producto, determinar los signos de las raíces o factorizar. Todo esto es conocimiento necesario que se asociará con usted en el proceso de aprendizaje del álgebra, o en los ejercicios de resolución y discusión de ecuaciones cuadráticas más adelante, por lo que debe recordarlo cuidadosamente y practicarlo con fluidez.

Si pretendes estudiar programación , también necesitarás tener conocimientos matemáticos básicos, incluso conocimientos matemáticos avanzados, dependiendo del proyecto que vayas a realizar.