Fórmulas para combinaciones, permutaciones y permutaciones

¿Cuál es la fórmula para calcular combinaciones y permutaciones? El artículo le guiará sobre cómo calcular combinaciones y otras fórmulas relacionadas.

Las permutaciones y combinaciones son los conceptos más básicos en matemáticas que implican la selección de elementos de un grupo o conjunto.

• La permutación es la disposición de elementos en orden de selección de un grupo dado.
• La combinación es la selección de elementos sin tener en cuenta el orden.

Tabla de contenido

• Fórmula combinatoria
• Fórmula de permutación
• Permutación 

Fórmula combinatoria

Dado un conjunto A con n elementos y dado un entero k, (1 ≤ k ≤ n). Cada subconjunto de A con k elementos se denomina combinación k-fold de n elementos de A.

Fórmula de combinación K de n

Fórmula para las propiedades de una combinación:

Ejemplos de combinatoria

Ejemplo 1: 

Un grupo de 12 estudiantes. ¿Cuántas maneras hay?:

a) Elija 2 representantes para el grupo

b) Escoger 2 personas y asignarles los puestos de líder del equipo y líder adjunto del equipo.

c) Dividir el grupo en 2 grupos, en los cuales el líder del grupo y el líder adjunto del grupo estarán en grupos diferentes.

Solución

a) Elige 2 amigos de 12 amigos que sean combinaciones de 2 de 12: C122 = 66 formas.

b) Elige 2 personas y asígnales la posición de combinar 2 de 12: A122 = 132 formas.

c) Divida el grupo en 2 grupos, cada grupo tiene 6 miembros.

En el que el líder del equipo y el líder adjunto del equipo están en grupos diferentes.

Elige 5 amigos para que estén en el mismo grupo que el líder del equipo de los 10 amigos restantes: C105 = 252 formas.

Elija 5 personas para que estén en el mismo grupo que el líder adjunto de las 5 personas restantes: C55 = 1 vía.

Así que hay 252,1 = 252 formas.

Fórmula de permutación

Dado un conjunto A con n elementos y dado un entero k, (1 ≤ k ≤ n). Cuando tomamos k elementos de A y los organizamos en un orden, obtenemos una perturbación k-vez de n elementos de A (llamada una perturbación n-vez de k de A).

El número de k-permutaciones de un conjunto con n elementos es:

Fórmula de permutación:

• Algunas convenciones: 0! = 1, An0 = 1, Ann = n!
• Características: Esta es una ordenación ordenada y el número de elementos a ordenar es k: 0 ≤ k ≤ n.

Por ejemplo: 

De los dígitos del 0 al 9. ¿De cuántas maneras hay de formar un número natural tal que:

a) Número con 6 dígitos diferentes

b) Un número con 6 dígitos diferentes y divisible por 10

c) Los números impares tienen 6 dígitos diferentes.

Solución

a) Haz un número con 6 dígitos diferentes

Elige el primer dígito de los números del 1 al 9: hay 9 formas de elegir

Los dígitos restantes son la quinta permutación de los 9 números restantes (excepto el primer dígito) con A95

Entonces hay 9A95 = 136080 números.

b) Un número con 6 dígitos diferentes y divisible por 10

Elija el dígito de la unidad: hay 1 forma de elegir el dígito 0

Elija los dígitos restantes como la quinta permutación de los 9 números restantes (excepto el dígito 0) con A95

Entonces hay A95 = 15120 números.

c) Sea el número un número impar con 6 dígitos diferentes formado por los dígitos del 0 al 9.

Como es impar, f ∈{1; 3; 5; 7; 9}

Elige f: hay 5 formas de elegir

Seleccione un de los dígitos {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}\{f}: hay 8 formas de elegir

Elija b, c, d, e como el complejo 4 de los 8 dígitos restantes (excepto f y a): tenemos A84

Entonces hay 5.8A84 = 67200 números.

Permutación

a) Definición:

- Dado un conjunto A de n elementos (n ≥ 1).

Cada resultado de una ordenación de n elementos de un conjunto A se llama permutación de n elementos.

- Nota: Las dos permutaciones de n elementos difieren únicamente en su orden de disposición.

b) Número de permutaciones:

- El símbolo Pn es el número de permutaciones de n elementos.

Fórmula de permutación:

Pn = n(n – 1)…2,1 = n!

Convención: 0! = 1; 1! = 1.

Por ejemplo:  Coloque a 10 personas, incluidos 5 niños y 5 niñas, en un banco. ¿De cuántas maneras se puede organizar todo para que:

a) Ordenar cualquiera

b) Los niños se sientan uno al lado del otro.

c) Los niños y las niñas se sientan alternativamente.

Solución

a) El número de maneras de disponer 10 personas en un banco es una permutación de 10: ¡10!

b) Disponga a los niños para que se sienten uno al lado del otro. Metimos a 5 chicos en un “paquete”: ¡son 5! Cómo organizar dentro del "paquete"

Luego, coloca a 5 chicas juntas en un "grupo" en un banco con: ¡6! Cómo organizar

Así que hay 5! . 6! = 86400 formas de organizar a los niños para que se sienten uno al lado del otro.

c) Supongamos que 10 personas están dispuestas en bancos numerados del 1 al 10.

Alternar entre niños y niñas

+ Caso 1: Los niños se sientan en posiciones impares, las niñas se sientan en posiciones pares

Número de formas de organizar a los chicos: ¡5!

Número de formas de organizar a las chicas: ¡5!

Así que hay 5! . 5! Cómo organizar

+ Caso 2: Los niños se sientan en posiciones pares, las niñas se sientan en posiciones impares

Similar al caso anterior tenemos 5! . 5! Cómo organizar

¡Así que hay 2,5! . 5! = 28800 formas de organizarse.

Diferencia entre permutación y combinación

La diferencia entre permutación y combinación se puede entender a través de la siguiente tabla:

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