¿Cuál es la fórmula para calcular combinaciones y permutaciones? El artículo le guiará sobre cómo calcular combinaciones y otras fórmulas relacionadas.
Las permutaciones y combinaciones son los conceptos más básicos en matemáticas que implican la selección de elementos de un grupo o conjunto.
Tabla de contenido
Dado un conjunto A con n elementos y dado un entero k, (1 ≤ k ≤ n). Cada subconjunto de A con k elementos se denomina combinación k-fold de n elementos de A.
Fórmula de combinación K de n
Fórmula para las propiedades de una combinación:
Ejemplos de combinatoria
Ejemplo 1:
Un grupo de 12 estudiantes. ¿Cuántas maneras hay?:
a) Elija 2 representantes para el grupo
b) Escoger 2 personas y asignarles los puestos de líder del equipo y líder adjunto del equipo.
c) Dividir el grupo en 2 grupos, en los cuales el líder del grupo y el líder adjunto del grupo estarán en grupos diferentes.
Solución
a) Elige 2 amigos de 12 amigos que sean combinaciones de 2 de 12: C122 = 66 formas.
b) Elige 2 personas y asígnales la posición de combinar 2 de 12: A122 = 132 formas.
c) Divida el grupo en 2 grupos, cada grupo tiene 6 miembros.
En el que el líder del equipo y el líder adjunto del equipo están en grupos diferentes.
Elige 5 amigos para que estén en el mismo grupo que el líder del equipo de los 10 amigos restantes: C105 = 252 formas.
Elija 5 personas para que estén en el mismo grupo que el líder adjunto de las 5 personas restantes: C55 = 1 vía.
Así que hay 252,1 = 252 formas.
Dado un conjunto A con n elementos y dado un entero k, (1 ≤ k ≤ n). Cuando tomamos k elementos de A y los organizamos en un orden, obtenemos una perturbación k-vez de n elementos de A (llamada una perturbación n-vez de k de A).
El número de k-permutaciones de un conjunto con n elementos es:
Fórmula de permutación:
Por ejemplo:
De los dígitos del 0 al 9. ¿De cuántas maneras hay de formar un número natural tal que:
a) Número con 6 dígitos diferentes
b) Un número con 6 dígitos diferentes y divisible por 10
c) Los números impares tienen 6 dígitos diferentes.
Solución
a) Haz un número con 6 dígitos diferentes
Elige el primer dígito de los números del 1 al 9: hay 9 formas de elegir
Los dígitos restantes son la quinta permutación de los 9 números restantes (excepto el primer dígito) con A95
Entonces hay 9A95 = 136080 números.
b) Un número con 6 dígitos diferentes y divisible por 10
Elija el dígito de la unidad: hay 1 forma de elegir el dígito 0
Elija los dígitos restantes como la quinta permutación de los 9 números restantes (excepto el dígito 0) con A95
Entonces hay A95 = 15120 números.
c) Sea el número 
un número impar con 6 dígitos diferentes formado por los dígitos del 0 al 9.
Como es impar, f ∈{1; 3; 5; 7; 9}
Elige f: hay 5 formas de elegir
Seleccione un de los dígitos {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}\{f}: hay 8 formas de elegir
Elija b, c, d, e como el complejo 4 de los 8 dígitos restantes (excepto f y a): tenemos A84
Entonces hay 5.8A84 = 67200 números.
a) Definición:
- Dado un conjunto A de n elementos (n ≥ 1).
Cada resultado de una ordenación de n elementos de un conjunto A se llama permutación de n elementos.
- Nota: Las dos permutaciones de n elementos difieren únicamente en su orden de disposición.
b) Número de permutaciones:
- El símbolo Pn es el número de permutaciones de n elementos.
Fórmula de permutación:
Pn = n(n – 1)…2,1 = n!
Convención: 0! = 1; 1! = 1.
Por ejemplo: Coloque a 10 personas, incluidos 5 niños y 5 niñas, en un banco. ¿De cuántas maneras se puede organizar todo para que:
a) Ordenar cualquiera
b) Los niños se sientan uno al lado del otro.
c) Los niños y las niñas se sientan alternativamente.
Solución
a) El número de maneras de disponer 10 personas en un banco es una permutación de 10: ¡10!
b) Disponga a los niños para que se sienten uno al lado del otro. Metimos a 5 chicos en un “paquete”: ¡son 5! Cómo organizar dentro del "paquete"
Luego, coloca a 5 chicas juntas en un "grupo" en un banco con: ¡6! Cómo organizar
Así que hay 5! . 6! = 86400 formas de organizar a los niños para que se sienten uno al lado del otro.
c) Supongamos que 10 personas están dispuestas en bancos numerados del 1 al 10.
Alternar entre niños y niñas
+ Caso 1: Los niños se sientan en posiciones impares, las niñas se sientan en posiciones pares
Número de formas de organizar a los chicos: ¡5!
Número de formas de organizar a las chicas: ¡5!
Así que hay 5! . 5! Cómo organizar
+ Caso 2: Los niños se sientan en posiciones pares, las niñas se sientan en posiciones impares
Similar al caso anterior tenemos 5! . 5! Cómo organizar
¡Así que hay 2,5! . 5! = 28800 formas de organizarse.
Diferencia entre permutación y combinación
La diferencia entre permutación y combinación se puede entender a través de la siguiente tabla:
|
Permutación |
Combinación |
|
En las permutaciones, el orden de disposición es muy importante. Por ejemplo, AB y BA son combinaciones diferentes. |
En combinación, el orden de disposición no importa. Por ejemplo, AB y BA son combinaciones similares. |
|
Se utiliza una permutación cuando es necesario ordenar o clasificar diferentes tipos de materia. |
Las combinaciones se utilizan cuando es necesario organizar el mismo tipo de cosas. |
|
Permutación de dos cosas de tres cosas dadas a, b, c son ab, ba, bc, cb, ac, ca. |
Una combinación es una combinación de dos cosas de tres cosas dadas. a, b, c son ab, bc, ca. |
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