¿Qué es una función par? ¿Qué es una función impar?

¿Qué es una función par ? No sólo las funciones pares , sino también las impares son de gran interés. ¡Aprendamos estos dos conceptos juntos!

Las funciones en matemáticas se pueden clasificar en funciones pares e impares según su simetría a lo largo del eje. Una función par es una función que permanece constante cuando se niega su entrada (la salida es la misma para x y -x), lo que refleja simetría alrededor del eje y. Por otro lado, una función impar se vuelve negativa cuando se niega su entrada, exhibiendo simetría alrededor del origen. Una función f es par si f(-x) = f(x), para todo x en el dominio de f. Una función f es una función impar si f(-x) = -f(x) para todo x en el dominio de f, es decir:

• Función par:f(-x) = f(x)
• Función impar:f(-x) = -f(x)

En este artículo, discutiremos en detalle sobre funciones pares e impares, la definición de funciones pares e impares, funciones pares e impares en trigonometría, gráficos de funciones pares e impares y muchos otros contenidos e información que necesita saber.

Tabla de contenido

• ¿Qué es una función par?
• ¿Qué es una función impar?
• Gráfica de funciones pares e impares
• ¿Cuál es una función que no es ni par ni impar?
• Recuerde una función impar-par común
• Cómo determinar funciones pares e impares
• Ejercicios sobre el examen de la paridad de funciones

¿Qué es una función par?

La función y = f (x) con dominio D se llama función par si satisface las dos condiciones siguientes:

• ∀ x ∈ D ⇒ − x ∈ D
• ∀ x ∈ D : f ( − x ) = f ( x )

Por ejemplo: La función y = x² es una función par.

¿Qué es una función impar?

La función y = f ( x ) con dominio D se llama función impar si satisface las dos condiciones siguientes:

• ∀ x ∈ D ⇒ − x ∈ D
• ∀ x ∈ D : f (−x)= − f(x)

Ejemplo: Ejemplo: La función y = x es una función impar.

Atención. La primera condición se denomina condición de simetría de dominio respecto de 0.

Por ejemplo, D = (-2;2) es un conjunto simétrico respecto de 0, mientras que el conjunto D' = [-2;3] no es simétrico respecto de 0.

El conjunto R = (−∞;+∞) es un conjunto simétrico.

Nota: Una función no tiene que ser par o impar.

Por ejemplo: La función y = 2x + 1 no es una función par ni impar porque:

En x = 1 tenemos f(1) = 2,1 + 1 = 3

En x = -1 tenemos f(-1) = 2.(-1) + 1 = -1

→ Los dos valores f(1) y f(-1) no son ni iguales ni opuestos.

Gráfica de funciones pares e impares

Incluso las funciones tienen gráficos que toman el eje y como eje de simetría.

La función impar tiene un gráfico con el origen O como centro de simetría.

¿Cuál es una función que no es ni par ni impar?

No todas las funciones pueden definirse como pares o impares. Algunas funciones no son ni pares ni impares, como por ejemplo: y=x²+x, y=tan(x-1),…

Además, hay un tipo especial de función que es a la vez par e impar. Por ejemplo, la función y=0

Recuerde una función impar-par común

Función par

y = ax2 + bx + c si y solo si b = 0

Función cuadrática

y = cosx

y = f(x)

Función impar

y = ax + b si y sólo si b = 0

y = ax3 + bx2 + cx + d si y solo si b = d = 0

y = senx; y = tanx; y = cotx

Algunos otros casos

F(x) es una función par y tiene una derivada en su dominio, entonces su derivada es una función impar.

F(x) es una función impar y tiene una derivada en su dominio, entonces su derivada es una función par.

Una función polinomial de grado impar no es una función par.

Las funciones polinomiales de grado par no son funciones impares.

Cómo determinar funciones pares e impares

Para determinar la función par-impar, realizamos los siguientes pasos:

Paso 1: Encuentra el dominio: D

Si ∀x ∈ D ⇒ -x ∈ D Vaya al paso tres

Si ∃ x0 ∈ D ⇒ -x0 ∉ D, entonces la función no es ni par ni impar.

Paso 2: Reemplace x con -x y calcule f(-x)

Paso 3: Examina el signo (compara f(x) y f(-x)):

° Si f(-x) = f(x) entonces la función f es par

° Si f(-x) = -f(x) entonces la función f es impar

° Otros casos: la función f no tiene paridad

Ejercicios sobre el examen de la paridad de funciones

Lección 4 página 39 Libro de texto de Álgebra 10: Considere las propiedades pares-impares de las siguientes funciones:

a) y = |x|;

b) y = (x + 2)2;

c) y = x3 + x;

d) y = x2 + x + 1.

Premio

a) Sea y = f(x) = |x|.

° TXĐ: D = R entonces para ∀x ∈ D entonces –x ∈ D.

° f(–x) = |–x| = |x| = f(x).

→ Entonces la función y = |x| es una función par.

b) Sea y = f(x) = (x + 2)2.

° TXĐ: D = R entonces para ∀x ∈ D entonces –x ∈ D.

° f(–x) = (–x + 2)2 = (x – 2)2 ≠ (x + 2)2 = f(x)

° f(–x) = (–x + 2)2 = (x – 2)2 ≠ – (x + 2)2 = –f(x).

→ Entonces la función y = (x + 2)2 no es ni par ni impar.

c) Sea y = f(x) = x3 + x.

° TXĐ: D = R entonces para ∀x ∈ D entonces –x ∈ D.

° f(–x) = (–x)3 + (–x) = –x3 – x = – (x3 + x) = –f(x)

→ Entonces y = x3 + x es una función impar.

d) Sea y = f(x) = x2 + x + 1.

° TXĐ: D = R entonces para ∀x ∈ D entonces –x ∈ D.

° f(–x) = (–x)2 + (–x) + 1 = x2 – x + 1 ≠ x2 + x + 1 = f(x)

° f(–x) = (–x)2 + (–x) + 1 = x2 – x + 1 ≠ –(x2 + x + 1) = –f(x)

→ Entonces la función y = x2 + x + 1 no es ni par ni impar.

¿Existe una función definida en R que sea a la vez par e impar?

Premio:

Es fácil ver que la función y = 0 es una función definida en R, tanto una función par como una impar.

Supongamos que la función y = f (x) es cualquier función con tales propiedades. Entonces para cada x en R tenemos:

F (–x) = f (x) (porque f es una función par);

F (–x) = – f (x) (porque f es una función impar).

De esto podemos deducir que para cada x en R, f(x)=−f(x), lo que significa que f(x)=0. Entonces y=0 es la única función definida en R, que es a la vez una función par y una impar.

Preguntas frecuentes sobre funciones pares e impares

¿Qué son las funciones pares e impares?

Si f(x) = f(−x) para todos los x en sus dominios, entonces las funciones pares son simétricas respecto del eje y. Las funciones impares son simétricas respecto del origen, lo que significa que para todo x en su dominio, f(−x) = −f(x).

¿Cómo saber si una función es par o impar?

Una función es par si f(-x) = f(x), y es impar si f(-x) = -f(x) para todos los elementos en el dominio de f. Si no satisface ninguna de estas propiedades entonces no es ni par ni impar.

¿Cuál es la diferencia entre funciones periódicas pares e impares?

Diferencia entre funciones periódicas pares e impares: Una función par satisface f(−x) = f(x) para todo x en el dominio, mientras que una función impar satisface f(−x) = −f(x).

Además de las funciones pares e impares, puedes aprender otros conocimientos matemáticos importantes como números cuadrados , números irracionales, números racionales , números primos , números naturales ... en la sección de Educación de Quantrimang.com.